При одновременном действии на стержень продольной сжимающей силы и изгибающего момента (от поперечных сил или эксцентрично приложенной сжимающей силы) в стержне сразу после приложения нагрузки возникает изгиб и соответственно прогиб. Поэтому здесь явление продольного изгиба проявляется не в такой форме, как при центральном сжатии (смотрите Работа стали на сжатие. Проблема устойчивости). Тем не менее проблема внецентренно сжатого стержня также является проблемой устойчивости.
Из теории устойчивости упругих систем1 известно, что прогиб внецентренно сжатого стержня выразится формулой
где f0 — прогиб от изгибающего момента при отсутствии продольной силы;
Р — продольная сжимающая сила;
— эйлерова критическая сила (J1 принимается в плоскости изгиба);
— осевое напряжение от сжимающей силы;
— эйлерово критическое напряжение.
Формула (14.II) показывает, что между прогибом и силой Р нет пропорциональности. Здесь имеется нелинейная связь, не позволяющая применять принцип независимости действия сил.
Очевидно, что по мере приближения σo к σэ происходит быстрое нарастание прогиба. При этом, однако, как только напряжение в крайнем волокне (фибре) изогнутого стержня с одной стороны сечения перейдет предел текучести, то по условию равновесия в упругопластических телах при увеличении момента (и прогиба) должна уменьшаться нормальная сила2, т. е. значение силы в функции прогиба перейдет через свой максимум и начнет уменьшаться.
Если за критическое состояние внецентренно сжатого стержня принять появление в крайних фибрах напряжений, равных пределу текучести (предполагая вполне упругую работу стержня вплоть до этого момента), то хотя такое критическое состояние и не является предельным по несущей способности стержня, можно сильно упростить решение задачи (несколько в запас прочности).
В этом предположении условие предельного состояния может быть записано так:
По аналогии с коэффициентом продольного изгиба (смотрите Работа стали на сжатие. Проблема устойчивости) обозначим отношение среднего осевого напряжения в сечении σo = N/F к пределу текучести σт через
Подставив в уравнение (15.II) σо = φвнσт, можно найти значение φвн, выраженное через σт, σэ, и относительный эксцентриситет e/p .
Тогда расчетная формула внецентренно сжатого стержня будет иметь вид
или в рабочем виде
где φвн — коэффициент снижения несущей способности внецентренно сжатого стержня, принимаемый по таблицам Показатели механических свойств строительных сталей и Расчетные длины сжатых стержней.
Коэффициент φвн в таблицах приведен в зависимости от гибкости λ и расчетного относительного эксцентриситета е1. Эксцентриситет e1 учитывает форму сечения, а также начальные эксцентриситеты (в результате случайных искривлений стержня и внецентренности приложения нагрузки).
В соответствии с НиТУ расчетный относительный эксцентриситет определяется по формуле
где η — коэффициент влияния формы сечения, принимаемый по таблице Расчетные сопротивления для прокатной стали толщиной от 4 до 40 мм (в кг/см2) Коэффициенты η влияния формы сечения;
— эксцентриситет силы в плоскости изгиба в см;
М — расчетный момент, принимаемый равным: для шарнирно опертых стержней — наибольшему моменту в пределах средней трети длины; для консолей — моменту в заделке; для рамных элементов — наибольшему моменту в пределах длины стержня (или длины участка постоянного сечения);
N — продольная сила в рассматриваемом сечении;
l — геометрическая длина стержня в см; 1/1000 длины введена как добавка к эксцентриситету на неточность изготовления (случайный эксцентриситет);
— радиус ядра сечения;
Wбр — момент сопротивления для наиболее сжатого волокна.
Обычно р предварительно определяют из равенства
где r — радиус инерции сечения;
z — расстояние наиболее удаленного сжатого волокна. Для этого, задавшись гибкостью λ, предельные значения которой нормированы (смотрите таблицы Предельная гибкость λ сжатых и растянутых элементов и Предельная гбкость колонн), находят
Расчетная формула (17.II) действительна только при малом расчетном относительном эксцентриситете (e1 ≤ 4), т. е. когда сжимающая сила превалирует над моментом.
При расчете внецентренно сжатых стержней с большими эксцентриситетами (при е1 > 4), согласно НиТу, расчетная формула принимается в виде
или в рабочем виде
Здесь φм — коэффициент продольного изгиба, принимаемый по гибкости стержня в плоскости действия момента по таблице Химический состав строительных сталей (мартеновских);
Таким образом, проверочный расчет устойчивости внецентренно сжатых стержней в плоскости действия момента производится: при значении расчетного относительного эксцентриситета e1 ≤ 4 по формулам (17.II) и (17’.II), а при e1 > 4 — по формулам (20.II) и (21.II). Формула (20.II) является развитием двучленной формулы Ясинского
в которой не учитывались пластические деформации. Неточность этой формулы незначительна (5 — 8%)*.
Кроме того, всегда необходима еще проверка внецентренно сжатого стержня на действие продольной силы из Плоскости действия момента (смотрите раздел Колонны).
1 Н. М. Беляев, Сопротивление материалов, Машгиз, 1955.
2 См. проф. А. Р. Ржаницын, Расчет сооружений с учетом пластических свойств материалов, Госстройиздат, 1954; проф. Н. Д. Жудин, Пластичнi деформацií в стальных конструкциях, издательство АН УССР, 1936.
* С. Д. Лейтес, Устойчивость сжатых стальных стержней, Государственное издательство литературы по строительству и архитектуре, 1954.
«Проектирование стальных конструкций»,
К.К.Муханов