Теория расчета тонких оболочек вращения

При проектировании стальных оболочек возникает много общих конструктивных и расчетных вопросов, не зависящих от специфичности технологического назначения оболочек. Рассмотрим поэтому теорию расчета оболочек вне зависимости от их технологического назначения.

Поверхность оболочки вращения имеет ось симметрии и два радиуса кривизны, перпендикулярных поверхности:
R1 — меридиональный радиус, образующий кривую вращения, и R2 — кольцевой радиус вращения, имеющий начало на оси симметрии. Углы φ (широта) и а (долгота) соответственно характеризуют местоположение радиусов.

Шаровая поверхность характеризуется соотношением R1 = R2; цилиндр — соотношениями R1 = ∞, R2 = r и φ = n/2; конус соотношениями = R1 = ∞, R2 sin φ = r и φ = const (постоянный угол).

Рассмотрим вырезанный элемент оболочки (удаленный от краев) толщиной δ со сторонами dS1 и dS2, на площадь которого действует равномерно распределенная нагрузка р. Оказывается, что в тонких оболочках, которые характеризуются малым отношением толщины оболочки к ее радиусу (δ/R < 1/30) условия равновесия могут быть соблюдены при наличии только осевых сил — меридиональных Т1 и кольцевых T2, направленных по касательной к срединной поверхности оболочки. Эти силы представляют собой равнодействующие нормальных напряжений, приложенных к сторонам элемента

Формула

Возьмем сумму проекций всех сил по направлению радиуса кривизны.

По условию равновесия эта сумма должна равняться нулю:

Формула (1.Х)

Так как при малых углах

Формула

то, разделив обе части уравнения на dS1dS2 получим:

Формула

Выразив и T2 через напряжения, получим основное уравнение тонких гибких оболочек

Формула (2.Х)

где σ1 — напряжение вдоль образующей (меридиана);

σ2 — кольцевое напряжение.

Для цилиндрической оболочки, у которой R1 = ∞, получим кольцевые напряжения

Формула (З.Х)

Для шаровой оболочки, у которой радиус во всех направлениях один и тот же (R1 = R2 = R), условия работы каждого элемента также во всех направлениях одинаковы и, следовательно:

Формула (4.Х)

Таким образом, при одинаковом радиусе шаровая оболочка испытывает в 2 раза меньшее напряжение, чем цилиндрическая.

Общее уравнение (2.Х) содержит два неизвестных σ1 и σ2, вследствие чего необходимо иметь второе уравнение. Это уравнение можно получить, рассматривая сечение оболочки по параллельному кругу и приравнивая нулю сумму проекций всех сил на ось симметрии:

Формула

Подставляя равенство (5.Х) в уравнение (2.Х), устанавливаем соотношение между кольцевыми и меридиональными напряжениями

Формула (6.Х)

Полученные уравнения тонких оболочек, выведенные из условий равновесия при наличии лишь осевых сил (меридиональных и кольцевых усилий), предполагают, что оболочка совершенно гибкая, т. е. что жесткость ее в отношении изгиба и кручения равна нулю.

Напряжения в такой безмоментной оболочке равномерно распределены по сечению; имеется также свобода осевой деформации. Такие предпосылки работы оболочки справедливы для участков ее, расположенных вдали от опорных закреплений или мест перегибов, т. е. от мест, где прерывно меняется центр радиуса кривизньи R1 или меняется толщина оболочки, словом, от всех тех мест, где меняются условия для осевой деформации.

В этих местах появляются распорные силы и «краевые» изгибающие моменты, вызывающие изгиб оболочки вследствие стеснения деформаций в условиях неразрывности сечения. Изгибающие моменты распространяются на сравнительно узкую зону оболочки, быстро затухая вследствие того, что деформациям оболочки приходится преодолевать упругое сопротивление соседних частей (аналогично балке на упругом основании).

Определение этих моментов и поперечных сил из условия неразрывности сечения сопрягаемых оболочек представляет собой дважды статически неопределимую задачу1.


К расчету оболочек

К расчету оболочек


Чем резче нарушение гладкой поверхности оболочки, тем больше дополнительные изгибающие моменты и поперечные силы. Поэтому при конструировании следует избегать резких перегибов в местах сопряжения оболочек. В вынужденных по конструктивным соображениям случаях таких соединений сопряжения следует подвергать проверке и в случае необходимости усилить. Обычно усиление заключается в утолщении стенки листа в месте перегиба или в постановке распорного кольца.

1 С. П. Тимошенко, Пластинки и оболочки, Гостехиздат, 1948; Е. Н, Лессиг, А. Ф. Лилеев, А. Г. Соколов, Стальные листовые конструкции, Госстройиздат, 1956; К. К. Муханов, Прикладные методы расчета сопряжений оболочек стальных конструкций, сборник трудов № 7 МИСИ, Госстройиздат, 1950.

Изложение общей моментной теории оболочек можно найти в книге А. И. Лурье, Статика тонкостенных упругих оболочек, Гостехиздат, 1947.

«Проектирование стальных конструкций»,
К.К.Муханов