Проблема устойчивости

Проф. С. П. Тимошенко, Устойчивость упругих систем, Техтеоретиздат, 1955; проф. И. П. Прокофьев и А. Ф. Смирнов, Теория сооружений, ч. III, Трансжелдориздат, 1948; проф. И. Я. Штаерман и А. А. Пиковский, Основы теории устойчивости строительных конструкций, Госстройиздат, 1939.

В стальных конструкциях проблема устойчивости имеет очень большое значение. Недооценка ее может привести к катастрофическим последствиям.

Если прямой стержень сжимать центрально приложенной силой Р, то вначале стержень будет оставаться прямым и это состояние равновесия его будет устойчивым. Устойчивое состояние равновесия упругого стержня характеризуется тем, что стержень, нагруженный и затем получивший незначительное возможное отклонение вследствие какой-либо причины (малое возмущение), после прекращения действия этой причины возвращается в свое первоначальное состояние, совершив незначительные затухающие колебания.

Это происходит потому, что внешняя сжимающая сила не в состоянии преодолеть сопротивляемость стержня тому незначительному изгибу, которому он подвергся при отклонении оси, т. е. потому, что внутренняя упругая работа деформации изгиба стержня, полученная вследствие отклонения оси (потенциальная энергия изгиба ΔV), больше внешней работы (ΔТ), которую совершила сжимающая сила в результате сближения концов стержня при его изгибе: ΔV > ΔТ.


Продольный изгиб центрально сжатых стержней

Продольный изгиб центрально сжатых стержней

Продольный изгиб центрально сжатых стержней:

а — основной случай;
б — кривые критических напряжений для стали марки Ст. 3 и коэффициента продольного изгиба:

1 — кривая Эйлера;
2 — кривая критических напряжений с учетом пластической работы материала;
3 — кривая коэффициента φ.


При дальнейшем увеличении сжимающая сила может достигнуть такого значения, что ее работа будет равна работе деформации изгиба, вызванного любым достаточно малым возмущающим фактором.

В этом случае = ΔV и сжимающая сила достигает своего критического значения Ркр. Таким образом, прямой стержень при нагрузке его силой до критического состояния имеет прямолинейную форму устойчивого состояния равновесия. При достижении силой критического значения его прямолинейная форма равновесия перестает быть устойчивой, стержень может изогнуться в плоскости наименьшей жесткости и устойчивым равновесием у него будет уже новая криволинейная форма.

То значение силы, при котором первоначальная устойчивая форма равновесия стержня переходит в неустойчивую, называется критической силой.

При наличии небольшой первоначальной кривизны стержня (или незначительной внецентренности сжимающей силы) стержень с возрастанием нагрузки с самого начала отклоняется от прямой. Но это отклонение вначале мало, и только тогда, когда сжимающая сила приближается к критической (отличаясь от нее в пределах 1%), отклонения становятся значительными, что и означает переход в неустойчивое состояние.

Таким образом, неустойчивое состояние равновесия характеризуется тем, что уже при малом увеличении сил происходят большие перемещения. Дальнейшее увеличение сжимающей силы Р > Ркр вызывает все возрастающие отклонения, и стержень теряет свою несущую способность.

При этом различным видам закреплений стержня соответствуют различные значения критической силы. Для показанного на фигуре, а центрально сжатого стержня, имеющего по концам шарнирные закрепления (основной случай), критическая сила определена великим математиком Л. Эйлером в 1744 г. в следующем виде:

Формула (6.II)

Напряжение, которое возникает в стержне от критической силы, называется критическим напряжением:

Формула (7.II)

где

Формула — минимальный радиус инерции;

F — площадь брутто поперечного сечения стержня;

 Формула — гибкость стержня, равная отношению расчетной длины стержня к радиусу инерции сечения его.

Из формулы видно, что критическое напряжение зависит от гибкости стержня (так как числитель — величина постоянная), а гибкость — величина, зависящая лишь от геометрических размеров стержня. Следовательно, возможность повышения значения критического напряжения путем изменения гибкости стержня (главным образом за счет увеличения радиуса инерции сечения) находится в руках конструктора и должна быть им рационально использована.

Графически формула Эйлера изображается в виде гиперболы.

Критические напряжения, определенные по формуле Эйлера, справедливы лишь при постоянном модуле упругости Е, т. е. в пределах упругости (точнее, в пределах пропорциональности), а это может иметь место лишь при больших гибкостях (Х > 105), что следует из уравнения:

Формула

Здесь σпц = 2000 кг/см2 — предел пропорциональности для стали марки Ст. 3.

«Проектирование стальных конструкций»,
К.К.Муханов

Проблема устойчивости (несущая способность)

Критические напряжения для стержней малых (X > 30) и средних (30 < Х < 100) гибкостей получаются выше предела пропорциональности, но, понятно, ниже предела текучести. Теоретическое определение критических напряжений для таких стержней значительно усложняется вследствие того, что явление потери устойчивости происходит при частичном развитии пластических деформаций и переменном модуле упругости. В результате многочисленных опытов, подтвердивших…